mercoledì 31 ottobre 2012

Il 6174 e il 495 di Kaprekar

Dattaraya Ramchandra Kaprekar (1905–1986) era un insegnante indiano di matematica. Pur non avendo una specializzazione accademica, fece molte scoperte nella teoria dei numeri, tra i quali una costante e una classe di numeri che da lui hanno preso il nome, divulgati attraverso una serie di articoli su riviste di modesto prestigio scientifico. Si occupò anche di quadrati magici e matematica ricreativa. Studioso solitario e poco apprezzato dai colleghi indiani, diventò famoso quando Martin Gardner nel 1975 si occupò di lui in un articolo della rubrica Mathematical Games che teneva sullo Scientific American

Nel 1949 fu resa nota una tra le più famose scoperte di Kaprekar, che riguarda la curiosa proprietà del numero 6174, che ricorre come risultato finale di una serie di semplici operazioni con i numeri di quattro cifre, purché non siano tutte uguali. Ecco il procedimento, che ha lo stesso gusto perverso della congettura di Collatz

1. Prendiamo un qualsiasi numero di quattro cifre, usandone almeno due diverse. (Si possono inserire degli zero anche all'inizio.) 
2. Sistemiamo le cifre in ordine decrescente e poi in ordine crescente così da ottenere due numeri di quattro cifre, aggiungendo degli zero iniziali se necessario. 
3. Sottraiamo il numero più piccolo da quello più grande. 
4. Ripetiamo il processo partendo dal punto 2. 

Questo processo, conosciuto come operazione di Kaprekar, andrà sempre incontro al suo punto fisso, o kernel, il 6174. Una volta raggiunto il 6174, il processo continuerà a dare 7641 – 1467 = 6174. Per esempio, consideriamo il numero 2155: 

5521 – 1255 = 4266 
6642 – 2466 = 4176 
7641 – 1467 = 6174 
7641 – 1467 = 6174

Facciamo un altro esempio, questa volta con il numero 8082: 

8820 – 0288 = 8532 
8532 – 2358 = 6174 
7641 – 1467 = 6174 

Il numero fisso si raggiunge con 7 iterazioni al massimo, come nel caso del numero 2005: 

5200 – 0025 = 5175 
7551 – 1557 = 5994 
9954 – 4599 = 5355 
5553 – 3555 = 1998 
9981 – 1899 = 8082
8820 – 0288 = 8532 
8532 – 2358 = 6174 
7641 – 1467 = 6174 


Notiamo che, in ogni iterazione dell’operazione di Kaprekar, i due numeri di cui si fa la differenza hanno la stessa somma delle cifre, e quindi lo stesso resto (mod 9). Pertanto il risultato di ogni iterazione è un multiplo di 9. 

Il matematico giapponese Yutaka Nishiyama, con un programma specifico, ha verificato già nel 1975 le occorrenze del numero di iterazioni per tutti gli 8891 8991 numeri di quattro cifre da 1000 a 9999 nei quali non si hanno tutte le cifre uguali. Ne ha ricavato la seguente tabella: 


Si può dimostrare che 6174 è l’unico numero verso il quale convergono le successive iterazioni dell’operazione di Kaprekar. Consideriamo che per un numero di quattro cifre la combinazione ascendente può essere generalizzata come:

9 ≥ a b c d ≥ 0 

dove a, b, c, d non sono la stessa cifra. Così il massimo numero che si ottiene è abcd e il minimo è dcba. Quando eseguiamo la sottrazione, si ha che: 


che dà le relazioni: 

D = 10 + d a (poiché a > d
C = 10 + c – 1 – b = 9 + c b (poiché b > c – 1) 
B = b –1 – c (poiché b > c
A = a d 

Per i numeri in cui a>b>c>d.

Per trovare i numeri limite dell’operazione di Kaprekar, bisognerà considerare tutte le possibili combinazioni delle cifre di {a, b, c, d} e verificare che soddisfino le relazioni sopra scritte. Ciascuna delle 4! = 24 combinazioni dà luogo a un sistema di quattro equazioni con quattro incognite. Ne risulta un’unica combinazione che soddisfa 9 ≥ a b c d ≥ 0. Questa combinazione è bdac, con a = 7, b = 6, c = 4 e d = 1. Perciò ABCD = 6174. Non ne esistono altre: questo numero è unico. 

E se le cifre del numero non sono quattro? Lo stesso Kaprekar scoprì che un numero di due cifre non converge verso un solo valore, ma si impantana nel loop 9→81→63→27→45→9. Le cose cambiano con tre cifre: l’operazione questa volta converge verso un solo valore, il numero 495. Ad esempio, prendiamo 586. In ordine decrescente le cifre danno 865 e in ordine crescente danno 568. 

865 – 568 = 297. 
972 – 279 = 693. 
963 – 369 = 594 
945 – 459 = 495 
945 – 459 = 495. 

Con le cifre 4, 5 e 9 la cifra finale sarà sempre 495. 

Attraverso lo stesso procedimento usato per il caso delle quattro cifre e del numero 6174, si può dimostrare che 495 è l’unica soluzione possibile per un numero di tre cifre.

Per numeri con un numero di cifre superiore a 4 si è scoperto quanto riportato nella tabella, sempre fornita da Yutaka Nishiyama:


Notate la somiglianza tra i numeri che sono multipli di 2 e quella tra i numeri che sono multipli di 3: chissà che cosa c’è dietro. Dimostrazioni più avanzate e generali le trovate qui.

AGGIORNAMENTO DEL 2/11/2012

Gli amici di Webfract mi segnalano di aver reso disponibile online un calcolatore del procedimento di Kaprekar, che offre la possibilità di studiare il comportamento di interi positivi fino a un massimo di 16 cifre. Li ringrazio anche per avere segnalato il mio articolo.

10 commenti:

  1. E io che - dopo Douglas Adams - ho sempre creduto che la risposta fosse "42" devo ora sostituire il "42" col "6174"?

    È crudele... "42" è molto più semplice e suona meglio!

    :-)

    Saluti,

    Mauro.

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    1. ti confermo che la risposta è 42...
      forse è la domanda ad essere sbagliata

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  2. Questa proprio non la conoscevo. Curiosa.
    Di queste "tipologie" di congetture sarebbe interessante conoscerne l'utilità pratica o almeno a cosa hanno portato. Io capisco che la fase della "scoperta" non segue una via diritta e soprattutto prestabilita, ma che è proprio durante il viaggio che si fanno le scoperte migliori. Ma è difficile far capire a chi non ha una certa "visione" che star lì a sommare cifre o trovarne di nuove ( vedi Pi o sqr(2) ) non è proprio una perdita di tempo. Voglio dire che poi son cose come queste che contribuiscono ad alimentare la visione a dir poco stravagante soprattutto dei matematici da parte della gente "comune". In alcune occasioni, soprattutto quando si parla di divulgazione, anche se non c'è, occorrerebbe "inventare una "motivazione concreta", costruire una storia intorno? Non so, tu che dici?
    Un saluto
    Marco

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  3. Non so. Penso che nella matematica si debba considerare anche l'aspetto ludico, che un grande divulgatore come Martin Gardner di certo non sottovalutò. Oggi ho proposto in classe l'operazione di Kaprekar come gioco, e qualcuno è rimasto sino alla fine dell'ora a verificare con la calcolatrice che viene sempre 6174. Talvolta ci si avvicina alla matematica non perché è utile, ma perché è bella.

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  4. Proprio quello che intendevo io. Delle volte lo stesso argomento suscita reazioni diverse a seconda di come viene "raccontato" e per la Matematica in particolare il miglior racconto è proprio il gioco. Se Martin Gardner non avesse pubblicato uno dei SUOI articoli su Kaprecar forse oggi non staremo qui a parlarne. Giocare e stupire e allora si che i ragazzi si mettono a tampinare sulla calcolatrice. L'utilità viene dopo, c'è sempre (secondo me), ma comunque viene dopo ed è sempre personale, per noi ragazzi soprattutto.
    Un saluto e grazie per la risposta.
    Marco

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  5. C'è sempre: dovevo dire "Talvolta ci si avvicina alla matematica non in quanto è utile, ma perché è bella". Ciao, Marco!
    Pop

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  6. Forse pero' è bene non appassionarsi troppo a "regolarità" che dipendono dalla base su cui si lavora. Quando arriveranno i marziani, che notoriamente hanno un numero di dita diverso da dieci, daranno più importanza ad altre scoperte, mentre queste non le apprezzeranno appieno...

    A proposito, iniziamo a cercare numeri di Kaprekar in base tredici!

    Aggiungo una nota di biasimo invitando al rispetto delle Pari Oppotunità, e specificamente alla non esclusione il Trota dai fruitori del blog. Per favore, evitiamo di disquisire su numeri con più di due cifre.

    D.Nonimo

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  7. Caro D. Nonimo, il link in fondo all'articolo invia proprio a uno studio sull'operazione di Kaprekar che si occupa anche di basi di numerazione diverse da 10. Non mi sono invece occupato dei numeri di Kaprekar, che sono una cosa diversa. Per il Trota sto provvedendo a una versione del blog in albanese, lingua che egli dovrebbe conoscere a menadito essendosi laureato a Tirana.

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  8. I numeri sono 8991, vabbhé.. un errore di battitura

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