venerdì 16 giugno 2017

Matematica in Italia: luci e ombre


I dati delle rilevazioni OCSE PISA 2015, resi noti lo scorso dicembre, evidenziano un miglioramento delle competenze matematiche dei nostri quindicenni rispetto al quadriennio precedente. L’Italia si colloca allo stesso livello di molti paesi industrializzati, anche se lontana dai vertici rappresentati dai paesi asiatici o dell’Europa del Nord. Eppure il nostro paese vanta prestigiose punte di eccellenza. Ma qual è davvero la situazione? Come sta la matematica in Italia? L'ho chiesto agli addetti ai lavori, che hanno espresso articolate opinioni, in qualche caso polemiche, di chi pratica e vive la matematica nella scuola, nell’università e nella ricerca. Alcune tendenze sono comunque emerse, e di esse bisognerebbe far tesoro. 
Consideriamo la rilevazione PISA-OCSE, che va analizzata senza fermarsi all’aspetto “classifica” come spesso tendono a fare gli organi di informazione. Che cosa ci dicono veramente quei dati? 
Ciro Ciliberto, presidente dell’Unione Matematica Italiana, sottolinea che risultati danno indicazioni parziali e quindi vanno studiati, interpretati e compresi in modo non superficiale. È vero che la nostra scuola, nella sua migliore declinazione, orienta più a un certo tipo di ragionamento teorico che non alla soluzione di problemi ''concreti'' o pseudo tali, il che talvolta ci penalizza, ma, da un recente documento formulato dalla Commissione Italiana per l'Insegnamento della Matematica dell'Unione Matematica Italiana, emerge che i risultati medi dei nostri studenti in Matematica sono in questo rilevamento uguali alla media generale dei Paesi OCSE (490 punti). Inoltre, se confrontiamo i nostri risultati del 2015 con quelli dei rilevamenti precedenti, notiamo che si registra un significativo e costante miglioramento: “una tendenza positiva così prolungata non può che lasciarci soddisfatti e non può essere attribuita al caso”. 

Esiste, più che un problema nazionale, un problema del nostro mezzogiorno: il divario di risultati tra le varie regioni italiane è rilevante: gli studenti del Trentino e dell'Alto Adige si collocano al livello dei migliori colleghi occidentali (516 e 518 punti), ma i giovani campani raggiungono il punteggio medio davvero esiguo di 456 punti. Si tratta di capire se da questo dato si possa dedurre un deficit di competenze matematiche o non piuttosto difetti dovuti a fattori ambientali, ma “un'analisi di questo tipo non si improvvisa, se non si vuole correre il rischio di affidarsi a valutazioni superficiali o peggio a pregiudizi”. Esiste anche un problema di genere: i maschi ottengono in media risultati di 20 punti più alti delle femmine, e questo dato si mantiene pressoché costante negli anni. In effetti esiste nel nostro paese un pregiudizio radicato per il quale la matematica sarebbe disciplina prettamente maschile. 

I risultati PISA-OCSE vanno infine esaminati nella loro interezza: nelle due altre competenze sotto indagine, Lettura e Scienze, i nostri ragazzi restano sotto la media OCSE. Paradossalmente, i nostri studenti paiono più bravi a risolvere problemi che a comprendere un testo di difficoltà studiata per la loro età. 

Più pessimista appare Vincenzo Nesi, professore di Analisi matematica e Preside della Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali a “La Sapienza" di Roma, che ritiene che “il livello culturale degli italiani sia mediamente decresciuto in tutte le discipline, non solo in matematica e quindi la domanda interessante dovrebbe essere se e quanto è decresciuto il livello della conoscenza matematica rispetto alla media delle competenze, altrimenti mischiamo un fattore di sistema (la decrescita di risorse per la scuola) con la specificità della matematica”. Inoltre “Questa decrescita generale si deve in gran parte all'allargamento della fascia più debole. L'eccellenza della Matematica vive di vita propria e non è un indice interessante per rispondere alla domanda. In pratica, il fatto che vi siano, come vi sono, ottimi o eccellenti matematici italiani in giro per il mondo non ha niente a che vedere con il livello medio della scuola italiana”. 
Molti insegnanti di matematica lamentano che i test PISA considerano abilità e competenze diverse da quelle che si privilegiano da noi e non manca chi li contesta apertamente. 
Giovanni Salmeri, Lucia Fellicò, Patrizia Plini e Anna Maria Gennai ritengono che i risultati conseguiti non sono tanto lo specchio di una scarsa cultura matematica, ma di una scarsa attitudine a rispondere a quesiti di quel genere. Il miglioramento registrato si spiega perché da qualche anno nelle scuole si dedica qualche ora ad esercitazioni mirate. Salmeri e Paola Santucci ricordano inoltre il caso della Finlandia, che per anni ha ottenuto ottimi risultati nei test internazionali di matematica e poi ha registrato un allarmato appello dei professori universitari che hanno denunciato di avere studenti capacissimi di compilare schede ma a digiuno di qualsiasi idea matematica. 

Nesi è piuttosto scettico sulla reale attendibilità di test e verifiche scritte: “Un paio di anni fa, fu fatto un sondaggio, limitato ma significativo, secondo il quale circa il 40% dei maturandi e delle maturande sosteneva di aver copiato o la versione di greco, o di latino o il compito di matematica. Credo che il dato fosse attendibile. Con questa cultura è ben difficile che qualunque test nazionale, per quanto ben fatto, possa avere un effetto positivo nell'orientare le scelte degli insegnanti. Molti, direi la maggioranza, lo boicotta apertamente e convintamente, a torto o a ragione non saprei ma direi che una ragione c'è di sicuro. Le riforme vanno prima spiegate e poi compiute. Non semplicemente imposte”. 


Non è raro sentire intellettuali di formazione umanistica o personaggi famosi affermare quasi con vanto di non saper nulla di matematica. Esiste un pregiudizio verso la matematica, una sorta di “diffidenza storica” di origine culturale che contribuisce tuttora alle difficoltà della penetrazione della cultura matematica nella società? 
Roberto Lucchetti, professore di Analisi al Politecnico di Milano, dove è stato il presidente del corso di studi di Ingegneria Matematica, ne ė convinto: “Sì, nonostante anche in questo ci siano miglioramenti, rimane diffusa l'idea che la matematica è molto utile, ma che è meglio che se ne occupino gli altri. A me sembra comunque di osservare che il rispetto nei riguardi dei matematici sia aumentato parecchio. Anche se il matematico rimane personaggio molto singolare”. 

Per Roberto Natalini, Direttore dell'Istituto per le Applicazioni del Calcolo "M. Picone", direttore della storica rivista di divulgazione Archimede e coordinatore del sito MaddMaths!, l'arretratezza tecnologica della nostra industria e la frammentazione del tessuto industriale italiano, sono fattori chiave, molto più di qualsiasi diffidenza ideologica. Così il tessuto produttivo non ha mai avuto la massa critica per porsi il problema di formare una classe di scienziati al passo con i bisogni dell'economia. Viviamo in un tessuto parassitario rispetto alla crescita scientifica, in cui i risultati della scienza sono di solito utilizzati di seconda mano, comprando tecnologia sviluppata altrove (spesso a cui concorrono scienziati italiani). Gli Stati Uniti e i paesi più avanzati hanno sviluppato la loro forte richiesta di scienza sui loro successi militari e industriali. In Italia, invece, l'industria e la pubblica amministrazione sono sempre stati arretrati e poco interessati all'interazione con la ricerca. Ci sono state eccezioni, ovviamente: Volterra, Olivetti, Natta, sono persone in controtendenza. Ma non hanno inciso più di tanto. 

Secondo Giampiero Negri bisogna considerare il carattere peculiare di “scienza teoretica” che la matematica ha assunto nella storia del nostro paese: “In contrapposizione con la valorizzazione delle applicazioni tecniche e del calcolo numerico, che hanno determinato nei paesi anglosassoni una fitta connessione tra la crescita di un sapere matematico trasformatore della società e la sua applicazione come strumento per i “meccanici”, ossia gli ingegneri, in Italia la speculazione ha, generalmente, prevalso nel contesto accademico, determinando un gap sempre più considerevole tra la cultura matematica e le sue applicazioni tecnico-pratiche”. 

Per Ciliberto, quando si parla di ''cultura'' in Italia non si pensa alla matematica, né alle scienze in generale. In altri termini, la ''cultura'' in Italia non è ''scientifica''. In aggiunta, per scienza si pensa sempre e solo a quella, spettacolare, facilmente e alquanto superficialmente divulgabile, di certe trasmissioni televisive che abbondano di buchi neri, onde gravitazionali e neutrini, ma in cui di matematica non si parla mai, senza notare che questi oggetti e concetti sono ben descrivibili solo in termini matematici. E ai matematici di professione difficilmente si dà accesso nei media. A ciò si somma un più recente atteggiamento, molto diffuso tra i politici e da chi detiene il potere economico, di esclusivo apprezzamento per discipline di tipo utilitaristico immediato, che, a fronte di investimenti che comunque nel nostro paese sono esigui, danno risultati economici a breve termine, cosa che difficilmente fa la ricerca scientifica teorica, che spesso richiede decenni, talvolta secoli, per dare frutti tangibili. Altro difetto, legato al precedente, è quello di dare una marcata preferenza alla tecnologia rispetto alla scienza, senza tener conto che non esiste buona tecnologia senza scienza teorica di alto livello. 
Che cosa fa e che cosa può fare la scuola per la diffusione delle competenze matematiche? Sicuramente esistono delle criticità, ma parlare in generale può essere fuorviante. Innanzitutto si hanno approcci e risultati diversi se consideriamo la scuola primaria e le secondarie. Poi i risultati dipendono molto da fattori geografici, economici e sociali, oppure dall’organizzazione del singolo istituto. È un problema di indicazioni nazionali (i programmi di una volta), di insegnanti, di metodi?
Giovanni Salmeri vede due tendenze recenti che militano contro la considerazione della matematica nella scuola e nell’Università. “La prima è l’avversione, evidente nella politica scolastica ma che un poco alla volta si sta infiltrando anche nell’Università, verso ciò che è rigoroso e difficile. L’idea del successo formativo garantito, che pur potrebbe avere un senso accettabile, diventa così la scusa per abbassare il livello finché sia considerato sufficiente quello raggiunto da qualsiasi studente con qualsiasi, anche inesistente, impegno. La matematica è rigorosa e impegnativa, e in questo modo viene uccisa. La seconda tendenza è quella che sottovaluta tutto ciò che non serve immediatamente, considerando ovviamente come punto di riferimento il mondo del lavoro. Evidentemente le scienze pure ne fanno le spese, e la matematica per prima”. Lorenzo Meneghini aggiunge che le difficoltà rimosse da un’applicazione distorta della normativa si ripresentano amplificate nella vita reale, quando si cerca un lavoro. Sembra che la scuola non possa più fare la selezione che faceva nel passato e questo ha causato un progressivo impoverimento del livello medio dell’istruzione italiana. “Gli insegnanti italiani, negli ultimi vent’anni, hanno perso molta considerazione sociale. Bisognerebbe restituire agli insegnanti la possibilità di “pretendere” che i propri studenti studino e siano ben preparati. La matematica richiede molta fatica da parte di studenti e docenti, fatica che oggi si cerca di evitare”. 

Natalini è convinto che “Il fattore sociale e familiare (ed economico) è fondamentale per capire l'efficacia dell'insegnamento. Non c'è paragone, in termini di opportunità, tra chi proviene da una famiglia già istruita e chi no. Ovviamente, la preparazione degli insegnanti può avere un ruolo. Gli insegnanti della scuola primaria sono in media meglio preparati di quelli della secondaria di primo grado, e questo soprattutto per la matematica. Innalzare il livello di questi ultimi, sia chiedendo requisiti maggiori per poter insegnare matematica, sia cercando di attirare qualche insegnante bravo sarebbe cruciale per avvicinare maggiormente i ragazzi alla matematica. Per quanto riguarda la secondaria superiore, oltre a liberare i docenti dal peso di un esame di stato troppo difficile (sic!), andrebbe migliorato il supporto formativo agli insegnanti. Dovrebbe essere il MIUR a gestire una vera e propria formazione permanente del docente. Per quanto riguarda le indicazioni, trovo solo che siano un po' troppo vaste e irrealistiche. Credo che un buon docente dovrebbe puntare a fornire alcuni contenuti di base molto solidi e un po' di curiosità sulla materia, ma non molto di più. Fare l'integrazione per parti, o le equazioni differenziali al liceo non ha molto senso”. 

Susanna Terracini, docente del Dipartimento di Matematica "Giuseppe Peano" dell’Università di Torino, pensa che un problema della scuola contemporanea è che si coprono troppe materie, e troppi argomenti, tutti in modo un po’ superficiale, mentre andrebbe rivalutato e potenziato il ragionamento rigoroso. “In definitiva, si tratta sia un problema di programmi nazionali (troppo estesi) sia un problema di approccio “utilitaristico” alla Matematica (e non solo), che la snatura. Forse la strada è lasciare più scelta ai docenti e diminuire i programmi. Insomma, credo che sia importante che tutto sia saputo da qualcuno e che tutti sappiano bene (poche) cose. Se no diamo ai ragazzi una falsa percezione di cosa significa “sapere". 

Le ultime Indicazioni Nazionali, secondo Anita Biagini, Patrizia Plini e Assunta Chiummariello hanno inserito ulteriori argomenti da trattare e contemporaneamente è cresciuto il numero di studenti per classe. Il tempo è così diventato un motivo di preoccupazione, anche perché si chiede al docente di “recuperare” in corsi di poche ore gli studenti in difficoltà. I docenti, in particolare del liceo scientifico, sono preoccupati per la prova di matematica dell’Esame di Stato, che chiede elevate competenze e abilità e questo porta a un lavoro di preparazione con ritmi elevati”. Giuseppe Casale aggiunge che “Si tratta di scegliere: o si vogliono perseguire certi standard che poi vengano in qualche modo accertati dalla prova d'esame ministeriale oppure si lascia maggiore libertà ai docenti nella preparazione degli alunni”. 

Anche Ciliberto sostiene che “la scuola ha le sue responsabilità ed è anche vero che ci sono grandi differenze di rendimento tra primaria e secondaria dei due gradi. A fronte di tanti docenti molto preparati e motivati, ci sono anche docenti insoddisfatti dal punto di vista economico e/o organizzativo. In alcune realtà problematiche, la disciplina degli allievi non viene curata a sufficienza e dunque risulta difficile insegnare. La formazione iniziale (soddisfacente solo a livello di primaria, per la quale c'è una laurea dedicata) è assai inadeguata: non esistono, anche se previste dalla legge, lauree dedicate alla formazione di docenti della secondaria. La formazione in servizio presenta nel nostro paese ritardi e lacune che vengono colmati solo parzialmente da privati, sulla cui competenza ci sarebbe da indagare e discutere, È invece questo un territorio assai importante da battere: la matematica, contrariamente a quel che molti pensano, non è ferma alle conquiste degli antichi, ma in continua, poderosa espansione ed è necessario che i docenti abbiano la percezione di questo sviluppo per poter dare ai loro allievi la misura di quanto questa sia una scienza vitale, che incide sulle nostre vite quotidiane come mai prima di oggi”. 

Secondo Lucia Caporaso, professore ordinario di Matematica presso l’Università degli Studi Roma Tre, è necessario dedicare piú tempo all'insegnamento della matematica. Non si puó nascondere il fatto che si tratta di una disciplina particolarmente impegnativa, non solo per l'impegno intellettuale che essa comporta, ma per la sua imprescindibile verificabilità: ci vuole tempo, non soltanto per insegnare la materia, ma per abituare lo studente all'importanza della verifica personale; gran parte degli errori dei bambini e ragazzi viene dal non effettuare questo passo, né nella matematica, né in altre materie. La differenza è che un errore in matematica ha un effetto ben superiore a un errore di ortografia o sintassi in un tema d'italiano. Insomma, insegnare anche il lato "etico" della matematica, e insegnare ad apprezzarlo, richiede tempo. 

Rosetta Zan, che è stata professore associato di Matematiche Complementari presso il Dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa e ha orientato la sua ricerca nel campo della didattica, sostiene che “ora che le Indicazioni nazionali mettono esplicitamente al centro del progetto d’insegnamento le competenze, “la scuola ha l’occasione di mettere in discussione alcune pratiche che possono produrre danni notevoli, fra i quali anche il rifiuto per la nostra disciplina che molti allievi sviluppano. Credo che il maggiore ostacolo allo sviluppo delle competenze sia l’inversione dei tempi che caratterizza l’insegnamento della matematica: prima si spiega un concetto, una definizione, un teorema, dopo si illustra un esempio o un’applicazione, quindi si propongono agli allievi un certo numero di ‘problemi’ che ricalcano tale esempio o applicazione. In questo modo i problemi si riducono in realtà a esercizi, e il successo viene identificato con una risposta corretta possibilmente data in poco tempo”. 

“In realtà l’attività matematica parte dai problemi, ed è nel tentativo di risolverli che si avanzano congetture, eventualmente si dimostrano (tra l’altro a livello di comunità, e non di singolo individuo: ciò che è congetturato da un matematico può essere dimostrato da un altro anche a distanza di molto tempo), si introducono definizioni. Errore e tempo in questa dinamica non sono nemici, ma risorse incredibili”. 

D’altra parte, prosegue Zan, “non c’è costruzione di conoscenza senza un coinvolgimento attivo dell’allievo: in questo processo di costruzione, che ha bisogno di tempi lunghi, l’errore è un passaggio inevitabile. In definitiva per favorire lo sviluppo di competenze in matematica è necessario rivalutare il ruolo dei problemi, non aver paura di proporre agli allievi compiti (adeguatamente) complessi, e al tempo stesso non identificare il successo con la produzione di una risposta corretta data in poco tempo, ma valorizzare tutti i processi tipici del problem solving (comprendere il problema, esplorare, congetturare, pianificare, controllare, …). Perché questo sia possibile l’ambiente di lavoro deve essere libero dall’ossessione della valutazione, così che i nemici di sempre, errore e tempo, possano essere visti invece come risorse. È chiaro che tutto questo richiede una formazione attenta dei docenti, sia dal punto di vista della matematica che dal punto di vista della didattica” 


Qual è la situazione della matematica nelle Università (non solamente nei Corsi di Laurea in Matematica, ma in tutti gli indirizzi in cui essa ha un ruolo importante nel curriculum)? Quali i problemi, quali le situazioni positive? Qual è la situazione della ricerca matematica italiana, pura e applicata? 
Nesi lamenta che i test d’ingresso obbligatori, che avrebbero dovuto attribuire dei debiti formativi, dovevano essere seguiti da corsi di recupero. Ebbene, “con rarissime eccezioni, questo non è stato fatto. Quando è accaduto, sia pure tardivamente, come nel caso della Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali della Sapienza, si sono visti dei frutti positivi. Il primo frutto è combattere l'ipocrisia. Se circa il 40% delle studentesse e degli studenti che si vuole iscrivere in una materia scientifica ha il debito su contenuti che spesso risalgono ai primissimi anni delle superiori, che senso ha continuare ad insegnare al primo anno dell'università presupponendo un livello di entrata molto maggiore? E, ancora di più, che senso hanno libri di testo per le superiori dove sì tratta il calcolo, le derivate, gli integrali e tanto altro ancora, se poi la somma di frazioni crea difficoltà? L'Università si è adagiata colpevolmente sull'idea che non fosse un problema proprio. Secondo me il cuore del problema è che l'Università italiana, specie in ambiti dove è rimasta all'avanguardia, dovrebbe farsi carico dei problemi della scuola superiore, e reclutare in lungo ed in largo. Più accoglienza e meno respingimenti alle frontiere della conoscenza." 

Caporaso precisa che nella gran parte degli atenei italiani la didattica della matematica in aree non scientifiche è gestita autonomamente, e quindi con competenza limitata e scadente investimento di risorse. Questo comporta un doppio danno: alla qualità dell'insegnamento e a quella della ricerca. 

In un ateneo che vuole sostenere la ricerca di base, continua Lucia Caporaso, la didattica in matematica di tutti i corsi di laurea dovrebbe essere gestita in stretta collaborazione con i matematici professionisti che operano al suo interno, incardinati in una struttura di ricerca (i dipartimenti di matematica, per intenderci). Da un'organizzazione di questo tipo ne guadagnerebbe molto sia la preparazione di base degli studenti (ingegneri, architetti...), che la crescita scientifica dei dipartimenti di matematica, che impegnandosi sulla didattica ne guadagnerebbero in termini di risorse. Ciò avviene, ad esempio, in Nord Europa e negli Stati Uniti. In Italia pochi atenei (tra quelli "prestigiosi") hanno realizzato un modello simile, in seguito al nuovo assetto universitario imposto dalla legge 240/2010. Questo è un segnale positivo, da contrapporre alla realtà di altri atenei che, rimanendo indietro sull'attenzione verso la ricerca, rischiano di veder diminuire le assegnazioni ministeriali di risorse; impoverimento finanziario che accompagna quello scientifico e didattico. 

Ciliberto sostiene che la matematica italiana, sia quella teorica che applicata e industriale, ha un ruolo di grande rilievo nella comunità matematica mondiale. “Siamo nel gruppo di testa delle nazioni matematicamente più avanzate. I matematici italiani sono costantemente invitati a parlare in prestigiosi convegni internazionali e sono pubblicati sulle riviste di maggiore impatto. La fuga dei cervelli, pur nella sua drammaticità, testimonia che i nostri giovani laureati in matematica sono tanto ben preparati da trovare posto nelle migliori istituzioni scientifiche e di ricerca straniera. Quindi non esiterei a definire i corsi di laurea in matematica in generale un’eccellenza nazionale. Purtroppo è vero che la matematica ha invece subito un arretramento di ore ad essa dedicate in altri corsi di laurea, tipicamente in quelli in ingegneria, dove viene ingiustificatamente compressa”. 

Natalini, sulla base della sua esperienza, afferma che l'Italia ha un'ottima scuola, collegata ai filoni di punta della ricerca mondiale. Le problematiche principali sono tre: a) mancanza di reclutamento e di promozione, che porta molti validi ricercatori ad andare (con successo) all'estero. Ciò alla lunga rischia di indebolire la ricerca italiana (sia perché risulta meno attrattiva per studenti mediamente motivati, sia per la mancanza di massa critica in certi settori). Siamo anche poco attrattivi per studenti e ricercatori stranieri. b) La matematica non è menzionata nei Piani Nazionali della ricerca, e, a differenza degli altri paesi, il supporto nazionale non compensa la mancanza di riferimenti espliciti alla matematica in Horizon 2020 [la rete europea per la ricerca e l’innovazione]. Questo rende difficile il finanziamento della ricerca di base. c) Per la matematica applicata, la carente sensibilità delle industrie porta ad uno scarso sviluppo delle ricerche direttamente connesse alle applicazioni ed ad una visione spesso settoriale e accademica della matematica. A ridurre questa scarsa attenzione mira lo Sportello Matematico per l'Industria Italiana, ma è ancora troppo poco. 
Per concludere, parlando in generale, le competenze matematiche specialistiche sono apprezzate dalle imprese italiane? Ci sono opportunità lavorative per chi le possiede? 
Lucchetti esprime “l'impressione molto forte che chi ha una solida preparazione matematica non abbia grandi difficoltà a trovare lavoro, da qualunque laurea arrivi. Esperienza illuminante è quella dei laureati in Ingegneria Matematica, che probabilmente anche perché si collocano geograficamente in un'area privilegiata, che trovano lavoro con estrema facilità. Anzi, un numero significativo di loro lavora già durante lo svolgimento della tesi”. 

Per Natalini, “In realtà, quando alla fine si riesce ad entrare in contatto con delle industrie, e si è preparati a farlo, si scopre che c'è tanto bisogno di matematica e anche una scarsa conoscenza delle sue potenzialità. Questo non influenza tanto il reclutamento dei nostri laureati magistrali (il tasso di occupazione a 5 anni è del 95%, e quel 5% è principalmente è prevalentemente composto da persone che vorrebbero ancora provare a fare ricerca), ma potrebbe espandere il bacino degli studenti interessati. Una solida conoscenza dell'ottimizzazione vincolata, della gestione dei dati avanzata, della modellistica, sono apprezzate dalle aziende, che però in media non pensano di potersi permettere di investire in ricerca. Insomma, le competenze ci sono già, sono di interesse, ma manca la comprensione delle loro potenzialità nelle aziende e anche manca, nel laureato medio, la capacità di comunicare efficacemente”. 

Secondo Ciliberto, le qualità dei migliori laureati in matematica sono apprezzate non solo nel comparto scuola (dove sono indispensabili) ma anche in attività più specificamente produttive: “I matematici sono ben preparati, flessibili, capaci di risolvere problemi anche apparentemente lontani dalle loro specifiche competenze, grazie alla capacità di razionalizzare e opportunamente modellizzare le situazioni loro proposte. Da una recente indagine effettuata in Gran Bretagna, è emerso che ben il 16% del PIL di quel paese da attribuirsi in forma diretta o indiretta all'apporto scientifico e lavorativo dei matematici. In Italia non abbiamo dati simili, ma mi azzardo a ritenere che, pur in una situazione industriale probabilmente meno florida e intraprendente come quella d'oltre Manica, i dati sarebbero paragonabili. Questo dovrebbe spingere politici e detentori del potere economico ad investire di più e meglio nella matematica”. 

Terracini considera un paradosso che le competenze specifiche che dà un corso di laurea magistrale in matematica sono del tutto inutili alle imprese (con pochissime eccezioni di centri di ricerca avanzata) e “tuttavia i laureati magistrali in matematica sono quelli che hanno la più alta occupabilità in Italia, secondi solo a quelli in informatica (che però sono molti di meno). Essi hanno opportunità lavorative molto diversificate (a Torino avevamo fatto dei Ritratti di matematici al lavoro) perché sono svegli e affidabili". 

Nesi, un po' provocatoriamente, chiosa che paradossalmente l'Italia crea ottimi talenti che regala alle nazioni "concorrenti" semplicemente perché sono troppo bravi per le condizioni di lavoro (if any) offerte in Italia. 



Si ringraziano per la disponibilità: 

Lucia Caporaso, Direttore del dipartimento di matematica e fisica di Roma 3; 
Ciro Ciliberto, presidente dell’Unione Matematica Italiana; 
Roberto Lucchetti, professore di Analisi al Politecnico di Milano; 
Roberto Natalini, Direttore dell'Istituto per le Applicazioni del Calcolo "M. Picone", CNR, Roma;
Vincenzo Nesi, Preside della Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali a “La Sapienza" di Roma; 
Susanna Terracini, docente del Dipartimento di Matematica "Giuseppe Peano" dell’Università di Torino; 
Rosetta Zan, ex-presidente della CIIM, professore associato in Matematiche Complementari all'Università di Pisa ed esperta di didattica della matematica; 
Antonio Salmeri, fondatore e direttore di Euclide, Giornale di matematica per i giovani, che ha raccolto e coordinato le risposte della sua redazione; 
Gli insegnanti ed esperti: Anita Biagini – Liceo “B. Russell” di Roma; Giuseppe Rocco Casale – Liceo “B. Russell” di Roma; Assunta Chiummariello – IISS “C. Darwin” di Roma; Diana Cipressi – Scuola Sec. “Mezzanotte-Ortiz” di Chieti; Carla Degli Esposti – già 1° CTP “Nelson Mandela” di Roma; Daniela Favale – Scuola Sec. di 1° Gr. “Ugo Foscolo” di Torino; Lucia Fellicò – già Liceo “De Sanctis” di Roma; Antonella Ferri – Scuola Sec. di 1° Gr. di Gramolazzo, LU; Anna Maria Gennai – Liceo Classico “Andrea da Pontedera” di Pontedera, PI; Adriana Lanza – già Liceo “Cavour” di Roma; Lorenzo Meneghini – Liceo “F. Corradini” di Thiene, VI; Annarita Monaco – IC Via San Biagio Platani, Roma; Giampiero Negri; Patrizia Plini – Liceo “B. Russell” di Roma; Rita Risdonne – IISS “C. Darwin” di Roma; Giovanni Salmeri, Responsabile tecnico di Euclide; Paola Santucci – Liceo “B. Russell” di Roma; Franca Tortorella – Liceo Sc. “E. Siciliano” di Bisignano, CS. 



Questo articolo ė comparso in forma ridotta con il titolo Come sta la matematica italiana? su "Il Tascabile", la bella rivista online a vocazione enciclopedica della Fondazione Treccani. Come spesso succede, le esigenze editoriali del periodico hanno consigliato numerosi tagli, riducendo di molto il materiale preparato, stilato esaminando i quasi 30 questionari di risposta pervenuti allo scrivente. Tra le reazioni ricevute, in molti hanno espresso l’invito ad ampliare l’articolo tenendo conto di ulteriori pareri, per avere un panorama più completo e stimolante. Spero che sia stato di vostro interesse.

venerdì 9 giugno 2017

Chimica e teoria dei grafi: una introduzione

Un po’ di teoria

Sin dagli inizi, i chimici hanno usato diagrammi per agevolare la comprensione della struttura delle molecole. Ad esempio, la molecola del metano si può rappresentare in questo modo (fig. 1), da cui risulta che l’atomo di carbonio è legato a quattro atomi di idrogeno e che nessun atomo di idrogeno è legato con altri atomi di idrogeno.


Altri diagrammi possono fornire maggiormente il senso che la molecola del metano è tridimensionale, e danno anche informazioni più accurate, perché le etichette ci dicono ad esempio la lunghezza del legame o gli angoli tra i legami. Il disegno di fig. 2 è fatto in modo da mostrare la natura tetraedrica della molecola di metano, cosa difficile da vedere nel precedente diagramma.


Questo tipo di diagrammi si può considerare all’interno della struttura dei diagrammi geometrici chiamati grafi. La teoria dei grafi riguarda lo studio delle proprietà dei diagrammi che utilizzano punti e segmenti lineari. I punti sono chiamati vertici o nodi, collegati fra loro da archi o spigoli. I vertici sono in genere trattati come oggetti senza caratteristiche e indivisibili.

Un arco che ha due estremi coincidenti si dice cappio, mentre più archi che connettono gli stessi due estremi costituiscono un multiarco. Un grafo sprovvisto di cappi e di multiarchi si dice grafo semplice. In caso contrario si parla di multigrafo (fig. 3).

Un sottografo G’ è un grafo composto da un sottoinsieme dei nodi e degli archi di un grafo G più grande.


Un percorso di lunghezza n in G è dato da una sequenza di vertici v0, v1,..., vn (non necessariamente tutti distinti) e da una sequenza di archi che li collegano. I vertici v0 e vn si dicono estremi del percorso. Un percorso con gli archi a due a due distinti tra loro prende il nome di cammino. Un cammino chiuso (v0 = vn) si chiama circuito o ciclo. Un cammino in un grafo è detto hamiltoniano se esso tocca tutti i vertici del grafo una e una sola volta. Un cammino viene invece detto euleriano quando tocca tutti gli archi del multigrafo una e una volta sola.

Dato un grafo, due vertici che appartengono ad esso, v e u si dicono "connessi" se esiste un cammino con estremi v e u. Se tale cammino non esiste, v e u sono detti "sconnessi".

Quando questi diagrammi sono usati dai chimici, essi sono solitamente chiamati grafi molecolari o formule di struttura. Una formula di struttura del metano è rappresentata in figura 4. I vertici rappresentano gli atomi, etichettati in modo da indicare di che tipo sono, e gli archi rappresentano i legami formati tra gli atomi. In questo caso il diagramma non fornisce alcuna informazione metrica, e gli angoli tra i legami e la loro lunghezza non fanno parte dell’informazione fornita. Cosī, la teoria dei grafi è un tipo di geometria che non utilizza direttamente informazioni metriche.


Potrebbe sembrare che la figura 4 non rappresenti un gran progresso rispetto alla 1. In realtà i grafi permettono considerazioni e forniscono informazioni assai più vaste di quanto appaia a prima vista. Utilizzando la teoria matematica dei grafi si aprono molte nuove prospettive sulla chimica delle molecole, anche se le rappresentiamo attraverso diagrammi sul piano.

Guardiamo adesso la figura 5.


I chimici sanno che il grafo di figura 5 (un grafo a stella) non può essere il diagramma di struttura di un idrocarburo: il carbonio non può avere cinque legami. Ciò che regola questo tipo di diagrammi dal punto di vista di un chimico è che diversi tipi di atomi possono formare solo determinati tipi di legami con altri atomi. In pratica la possibilità di costruire grafi rappresentanti la struttura delle molecole è limitata dal concetto chimico di valenza. Gli esperti di teoria dei grafi rendono l’idea di legame tra atomi con il concetto di grado o valenza di un vertice di un grafo. Consideriamo ora la formula di struttura dell’etilene, in figura 6.


Consideriamo ora la figura 7:


Questa è la versione secondo la teoria dei grafi della figura 5. Notate che, se si conta il numero degli archi per ogni vertice, ci sono due vertici in cui concorrono quattro archi e due che ne hanno uno solo. Se sommiamo questi numeri, otteniamo 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 1 = 12, che è il doppio del numero degli archi. Ciò è un fatto generale, dato che, se ogni singolo arco ha esattamente due estremità, la somma del numero di archi concorrenti in ciascun vertice darà sempre la metà del numero dei vertici. 

Consideriamo il grafo di figura 8. Esso ha 6 vertici e 18 archi. Tuttavia, alcuni di questi archi uniscono un vertice a se stesso, formando un cappio, e per alcuni vertici c’è più di una coppia di spigoli che collega la stessa coppia di vertici. Quando il grafo presenta tali caratteristiche, con vertici uniti da più archi, essi sono detti a archi multipli.


In matematica c’è la “libertà” di definire i termini in modo tale da cogliere importanti idee applicative, come ad esempio la valenza in chimica. Si è così tentati di definire la valenza o grado dei vertici nella figura 8 come il numero di archi che concorrono in un vertice. Tuttavia, quando lo si fa, non è vero che la somma delle valenze dei vertici del grafo è uguale al doppio della somma del numero degli archi. I responsabili sono i cappi, che danno non uno, ma due estremità a un vertice. Tenendo ciò in considerazione, useremo la seguente definizione di valenza o grado di un vertice:

Dato un vertice v di un grafo G, il grado di un vertice è il numero di archi che concorrono in quel vertice.

Ciò significa che nella figura 8 abbiamo le seguenti valenze per i vertici:

valenza (v) = 4
valenza (w) = 6
valenza (x) = 6
valenza (y) = 5
valenza (u) = 6
valenza (z) = 9

Gli anelli blu contribuiscono per 2 alla valenza dei vertici in un cui concorrono, gli archi rossi (quelli multipli) contribuiscono per 1, come gli archi grigi. Notiamo che un vertice ha valenza dispari, mentre altri hanno valenza pari.

Se sommiamo i numeri 4 + 6 + 6 + 5 + 6 + 9 otteniamo 36, che è il doppio del numero degli archi, che di conseguenza sono 18. Possiamo quindi enunciare il seguente teorema:

Teorema:
Il grado o somma delle valenze di un grafo risulta uguale al doppio del numero degli archi.

Corollario:
Il numero di vertici di un grafo di valenza dispari è pari.

Dimostrazione: La somma di un numero dispari di numeri dispari è dispari, così per avere una somma pari per le valenze, bisogna avere un numero pari di vertici con valenza dispari.

La teoria dei grafi in chimica

L’importanza della teoria dei grafi in chimica incominciò a diventare evidente nel XIX secolo, grazie all’opera dei due matematici britannici, Arthur Cayley (1821-1895) e James Joseph Sylvester (1814 -1897).

Soprattutto il lavoro di Cayley fu pionieristico per l’uso di ciò che oggi chiamiamo grafi nella chimica, per cui dovette coniare anche una terminologia specifica. Egli utilizzò i termini plerogrammi e kenogrammi per i due tipi di grafi che si possono considerare quando si studiano gli idrocarburi con molecole lineari o ad albero (senza anelli). Il plerogramma mostra tutti gli atomi presenti, compresi gli idrogeni, mentre il kenogramma mostra solamente gli atomi di carbonio.


Nella figura 9 sono rappresentati il plerogramma (Pl1) e il kenogramma (Ke1) nel caso del 2,2,3,5-tetrametilesano: il kenogramma ha n e il plerogramma 3n + 2 vertici. Qui n = 10.

Una delle prime scoperte dei chimici fu che le molecole con lo stesso numero di atomi di carbonio e idrogeno (ad esempio) potevano presentare proprietà fisiche e chimiche diverse. Le molecole con le stesse proprietà chimiche, ma diverse proprietà fisiche sono dette isomeri l’una dell’altra. Quando rappresentiamo le molecole con strutture a grafo, gli isomeri danno luogo a strutture diverse. La teoria dei grafi fa parte della geometria combinatoria, nel senso che essa non si occupa delle proprietà metriche (area, angoli, distanze, ecc.), ma delle proprietá strutturali. Eppure, dai grafi si possono ottenere quantità di informazioni sorprendentemente grandi osservando le loro proprietá. Prendiamone in esame alcune. Consideriamo il grafo nella figura 10. Quali proprietà possiede?


I teorici dei grafi hanno coniato termini per descrivere come ci si muove su di essi da un vertice all’altro lungo gli archi. Per esempio, ci sono diversi percorsi dal vertice e al vertice i mostrato in figura, come ecbfglhi, ecflghi, oppure ecbglhi. Questi percorsi hanno lunghezze rispettivamente 7, 6 e 6, poiché tale è il numero degli archi attraversati. Ci sono tuttavia percorsi più corti da e a i, che utilizzano un minor numero di archi. Sia ecbghi sia ecflhi hanno lunghezza 5. Possiamo definire la distanza tra due vertici in un grafo connesso come la lunghezza del percorso più breve tra di essi. La distanza tra i vertici e e k è 4, mentre quella tra e e g è 3, essendoci due possibilità per percorrere questa distanza più breve: ecfg e ecbg. Si noti che questo diagramma può essere interpretato come quello di un idrocarburo, in quanto tutti i suoi vertici hanno valenza 1 oppure 4.

Alcuni grafi connessi hanno solo un percorso tra ogni coppia di vertici. Tali grafi non possono avere circuiti (cbgfc e fglf sono esempi di circuiti nel grafo sopra rappresentato). Dati due vertici in un circuito, ci sono due percorsi che li uniscono lungo le due parti che collegano i vertici. Un grafo senza circuiti si definisce ad albero (fig. 11), e gli alberi hanno molte utili proprietà, tra le quali il fatto che, tranne l’albero con un solo vertice, essi hanno almeno due vertici monovalenti. Un’altra elegante proprietà di un albero è questa:


Teorema 1:
Se T è un albero in cui il numero di vertici ė n, allora il numero di archi di T è n - 1.

Forse ancor più degno di nota è che anche l’inverso del teorema è vero:

Teorema 2:
Se T è un grafo connesso che possiede n vertici e n - 1 archi, allora il grafo T deve essere ad albero.

Uno dei risultati di Cayley fu mostrare che i grafi ad albero mostrano un ruolo particolarmente importante nella comprensione dei problemi di chimica matematica. Talvolta si conosce per ragioni chimiche il numero di atomi di idrogeno e carbonio che fanno parte di una serie di molecole. Ad esempio, gli alcani sono una famiglia di idrocarburi in cui, se ci sono n atomi di carbonio, ci sono 2n + 2 atomi di idrogeno, con la formula generale:

CnH2n+2

Che forma avranno i grafi di queste molecole? Utilizzando un po' di teoria dei grafi si può osservare che queste molecole devono avere una struttura ad albero.

Poiché le molecole chimiche sono connesse, ciò vuol dire che un alcano ha un totale di n (carbonio) + 2n + 2 (idrogeno) atomi. Quindi nel grafo di una tale molecola si hanno 3n + 2 vertici. Tuttavia, il carbonio è tetravalente, mentre l’idrogeno è monovalente. Per questo motivo ne risulta che 4n (4 volte il numero degli atomi di carbonio) + 1(2n +2) (1 volta il numero degli atomi di idrogeno) = 4n + 2n +2 = 2(3n+1), che è due volte il numero dei legami nella molecola. Così il numero di archi (legami) nel grafo della molecola è 3n +1. Dato che il numero dei vertici 3n + 2 supera di uno il numero degli archi, 3n +1, possiamo concludere per il teorema 2 che i diagrammi per gli alcani sono sempre ad albero.

Possiamo considerare i grafi per comprendere meglio un aspetto utile si chimici. Dato un grafo connesso, dove sono i vertici che sono “al centro” o “in mezzo” al grafo? Domande di questo tipo furono poste dal matematico francese Camille Jordan (1838 - 1922).

Il primo approccio per spiegare che cosa s'intende per “centro” di un grafo è utilizzare queste definizioni:

L’eccentricità di un vertice n è la massima distanza di n da qualsiasi altro vertice.

Un vertice n di un grafo (connesso) è detto centrale se l’eccentricità di n è la più piccola possibile.

Ricordiamo che la distanza tra due vertici è la lunghezza del cammino più breve tra di essi. Nella figura 10, per esempio, i vertici d, e, i e j hanno eccentricità 5, i vertici a, c e h hanno eccentricità 4 e i vertici b, f, g e l hanno eccentricità 3. Sono questi ultimi i vertici centrali.

Il centro C di un grafo connesso connesso G consiste di tutti i suoi vertici centrali assieme agli archi che li uniscono. Talvolta si dice che il centro di un grafo connesso è il sottografo di G “indotto” o generato” dai vertici centrali. Nella figura 10 il centro è costituito dai 4 vertici b, f, g e l e dai 5 archi bf, bg, fl, gl, e fg.

Bisogna osservare che considerazioni del genere talvolta non sono di grande utilità, poiché ogni vertice di un grafo può essere centrale e perciò il centro del grafo è il grafo stesso. Un esempio è il cubo tridimensionale (fig. 12, in due rappresentazioni isomorfiche), in cui tutti i vertici hanno eccentricità 3.


Ad ogni modo, ciò che ci interessa è che per grafi ad albero con almeno 3 vertici non tutti i vertici possono essere centrali.

Teorema:
Se T è un grafo ad albero, allora il centro di T è o un singolo vertice o una coppia di vertici con l’arco che li unisce.

Nella figura 13 si vede l’esempio di un grafo ad albero (che rappresenta la molecola di un idrocarburo: quale?) il cui centro è costituito dall’arco disegnato in rosso con i vertici che unisce.


Un’altra proprietà notevole dei grafi ad albero e dei loro centri è che se si ha un grafo T con almeno 3 vertici e si rimuovono i vertici monovalenti, il grafo ad albero che si ottiene ha lo stesso centro di quello originale. Ad esempio, il grafo di figura 14 conserva il suo centro (il vertice in rosso) anche dopo che sono stati “potati” i vertici monovalenti.


Quando Cayley iniziò a occuparsi degli isomeri degli idrocarburi ad albero, dovette decidere quale modello di grafo adottare per la molecola. Gli idrocarburi con molecola ad albero hanno vertici tetravalenti e monovalenti e abbiamo appena visto che il centro di tale molecola è lo stesso per il grafo in cui sono tolti i vertici monovalenti. Cayley doveva scegliere tra il plerogramma, con inclusi i vertici monovalenti, e il kenogramma, che invece rappresenta solo gli atomi di carbonio. Il butano C4H10 è costituito da due isomeri, l’ n-butano e l’isobutano, i cui kerogrammi sono rappresentati nella figura 15.


Cui corrispondono alle seguenti formule di struttura:


L’indice di Wiener

Molto tempo dopo che Cayley, Sylvester e Jordan avevano mostrato che le loro idee sulla teoria dei grafi non si applicavano al solo campo matematico, un chimico, Harry Wiener, diede nuovo impulso alla teoria dei grafi in chimica creando, nel 1947, un invariante di un grafo che prende il nome Indice di Wiener. Si tratta del più antico indice topologico legato alla struttura molecolare. Dopo il suo successo, molti altri indici topologici di grafi chimici, basati sul dato della matrice grafica del grafo, sono stati sviluppati.

La domanda per i chimici e i matematici interessati alla chimica è se l’informazione riguardo al grafo di una molecola consente di “predire”, anche solo approssimativamente, le proprietà chimiche o fisiche della stessa. La risposta ottenuta dalle evidenze sperimentali è che ciò è possibile.
L’idea di Wiener era di guardare alle distanze tra i vertici del grafo che rappresenta la molecola. Se la molecola corrisponde a un albero, quale grafo ne rappresenta meglio le proprietà? Wiener scelse originariamente per il suo Indice il grafo degli idrocarburi che indica solo gli atomi di carbonio. Ad esempio, calcoliamo l’Indice di Wiener per i due grafi rappresentati in figura 15. La molecola dell’n-butano possiede tre coppie di vertici a distanza 1 l’uno dall’altro. due coppie a distanza 2 e 1 coppia a distanza 3, così il suo Indice vale:

3 x 1 + 2 x 2 + 1 x 3 = 10

La molecola dell’isobutano possiede 3 coppie di vertici a distanza 1 l’uno dall’altro (i le tre coppie vertice esterno-centro) e 3 coppie a distanza 2 (le coppie da vertice esterno a vertice esterno). Pertanto il suo Indice vale:

3 x 1 + 3 x 2 = 9

Questi valori sono esempi di formule di casi speciali dell’Indice di Wiener. Esso vale (n3 - n)/6 per n vertici in linea come nel caso dell’n-butano e (n - 1)2 per n vertici disposti a stella come nel caso dell’isobutano. Così, anche se queste due molecole hanno la stessa formula chimica e lo stesso numero di legami carbonio-carbonio e carbonio-idrogeno, le loro strutture diverse originano due Indici di Wiener diversi.

Wiener dimostrò che i valori del suo indice sono legati da vicino ai punti di ebollizione delle molecole degli alcani. Opere più recenti sulle relazioni quantitative tra struttura e attività hanno evidenziato che l’indice è correlato con altre quantità, come i parametri del punto critico, la densità, la tensione superficiale e la viscosità della fase liquida, e la superficie di van der Waals della molecola.

Mentre l’indice di Wiener per grafi non isomorfi è diverso, ci sono anche casi in cui grafi non isomorfi hanno lo stesso indice. Ciò non è sorprendente. I matematici da tanto tempo stanno tentando di trovare un modo semplice di dire che due grafi sono isomorfi oppure no. Nessun indice di tale tipo è finora stato trovato né sembra probabile che lo sia. Infatti, il “Problema dell’isomorfismo dei grafi”, vale a dire sapere se e in quanto tempo si può dimostrare che due grafici con n vertici sono isomorfi, è in computer science una questione tuttora irrisolta.

Riferimento Principale:

Joseph Malkevitch, Mathematics and Chemistry: Partners in Understanding Our World, AMS Feature Column, 2017

martedì 9 maggio 2017

L’Analytical Society contro il “rimbambimento” della matematica inglese


Dopo Newton, la ricerca matematica inglese andò incontro a una lunga crisi, dalla quale tentò di risollevarla Robert Woodhouse (1773-1827), fautore di un rinnovamento dell’algebra attraverso lo strumento del calcolo, che i professori dei college vedevano come “una pericolosa innovazione” in grado di minare “l’onore nazionale”. 

La matematica britannica era all’epoca solamente un mezzo per comprendere i Principia di Newton, che erano visti come la pietra di volta della conoscenza umana sia di Dio che del mondo naturale. La moderna analisi algebrica francese era vista da molti come il simbolo dei recenti rivolgimenti politici sul continente: era l’orribile risultato dell’intelletto umano lasciato libero da tutti i vincoli sociali. La natura astratta di una pura analisi algebrica permetteva in apparenza alle mente di vagare nella fantasia attraverso l’insensata manipolazione di simboli. Essa era inoltre collegata a una visione meccanica della mente. La matematica pura non era pertanto vista come una parte appropriata dell’educazione di Cambridge. Al contrario, tutti i libri di testo e i manuali erano dipendenti da figure geometriche e si applicavano a specifiche fondamenta fisiche. 

I Principles of analytical calculation (1803) di Woodhouse, che proponeva di sostituire la notazione di Newton a puntini con quella dei differenziali leibniziani, sollevarono scandalo, ma trovarono attenti lettori in un gruppo di giovani studenti di Cambridge, tra i quali Charles Babbage (1792-1871) e J. William Herschel (1792-1871). Essi erano ammirati dalle più potenti tecniche di calcolo dell’analisi matematica continentale e volevano collegarsi a “un secolo di progresso straniero” nel calcolo. I loro ispiratori erano filosofi naturali e matematici come Pierre-Simon Laplace, Joseph Louis Lagrange e Sylvestre Lacroix, i cui testi e manuali erano allora all’avanguardia. 

Babbage e Herschel si procurarono, nonostante la guerra in corso, una copia del Traité élémentaire de calcul différentiel et intégral (1802) di Lacroix (secondo Babbage “so perfect that any comment was unnecessary”) e diedero vita a una Analytical Society, con lo scopo di realizzare l’eretico progetto verso la memoria di Newton di tradurre il testo del francese e introdurre il calcolo e la notazione leibniziani. Il 1813 vide il primo frutto di questi “giovani infedeli”, un volume di Memoirs of the Analytical Society, che Babbage, dal carattere già allora piuttosto insofferente verso le istituzioni, avrebbe voluto irriverentemente intitolare “I principi del puro d-ism in opposizione alla dot-age dell’Università”. D-ism indicava ovviamente la d dei differenziali (ma richiamava anche deism), mentre dot-age indicava l’era dei punti di Newton, ma in inglese dotage significa “rimbambimento”!

La traduzione del libro di Lacroix fu completata nel 1816 da Babbage, Herschel e George Peacock (1791-1858). L’establishment di Cambridge fu enormemente scosso quando Peacock, diventato nel frattempo esaminatore all’Università, utilizzò la notazione differenziale nei testi per gli esami di calcolo del 1817. L’Analytical society produsse poi alcuni quaderni di esercizi e, nel 1820, oramai vittoriosa, si sciolse. Herschel avrebbe continuato gli studi astronomici del padre, mentre Babbage si sarebbe poi dedicato alla meccanizzazione del calcolo, ma questa è un’altra, meravigliosa, storia.

venerdì 21 aprile 2017

Vicino allo stadio

Limerick


Per evitare i prevedibili, spiacevoli incidenti,
gli urti violenti e i pericolosi ammassamenti
che caratterizzano l'attrazione
dell'irresistibile pallone
è bene star lontani dall'orizzonte degli eventi.

lunedì 10 aprile 2017

Andiamo a raddoppiare!

Il paradossale teorema di Banach-Tarski


Nel 1924, Stefan Banach e Alfred Tarski pubblicarono Sulla decomposizione di insiemi di punti in parti rispettivamente congruenti, un articolo in cui i due matematici dimostravano che si può suddividere una sfera piena (una palla) nello spazio tridimensionale (*) in 5 parti, in modo che sia possibile ricomporre con questi pezzi due sfere entrambe perfettamente identiche alla sfera iniziale prima della suddivisione. La ricomposizione utilizza solo delle isometrie, cioè delle traslazioni e delle rotazioni. In particolare, i pezzi non sono mai deformati. Ciò sfida il senso comune, ma talvolta la matematica lo fa. 
Una palla a tre dimensioni euclidee è equiscomponibile a due copie di se stessa. 
Come indica il nome, si tratta di un teorema: è una proprietà matematica che è stata dimostrata con tutti i crismi. Esso non può essere contraddetto, pur sembrando a prima vista paradossale perché mette in discussione una realtà del nostro mondo fisico: quando si taglia un oggetto in diversi pezzi, il volume dell’oggetto iniziale dev’essere assolutamente uguale alla somma dei volumi dei suoi pezzi. Nel mondo matematico questa proprietà è anch’essa assolutamente vera, con l’unica condizione che si possa attribuire a questi pezzi un volume. Questa idea è difficile da definire, ma quando lo si fa con precisione, ci si rende conto che certi oggetti matematici semplicemente non possono essere misurati.

Questa proprietà sfida molto l’intuizione perché al cuore della sua dimostrazione si nascondono due dettagli un po’ perturbanti. Il primo è il legame con i paradossi legati all’infinito, perché si utilizza più volte il paradosso dell’Hotel di Hilbert, cioè quello per cui due insiemi infiniti che sembrano diversi a prima vista possono in realtà essere equivalenti. Il secondo punto, che disturba ancor di più, è la comparsa nella dimostrazione dell’assioma più controverso della teoria degli insiemi: l’assioma della scelta, al quale si ricorre talvolta nelle dimostrazioni facendo storcere il naso a molti. 

La suddivisione in parti dell’enunciato è perfettamente definita dal punto di vista matematico, ma sfortunatamente è di impossibile realizzazione pratica. Dispiace, ma nella realtà fisica così come la conosciamo non si possono duplicare gli oggetti tagliandoli a pezzi. 

A che cosa assomigliano esattamente questi pezzi? Costruiamolo per vederlo! Ci occorre innanzitutto una sfera, poi due assi di rotazione su questa sfera. Prendiamo ad esempio quello che permette una rotazione Est-Ovest e viceversa, e quello che permette le rotazioni verso Nord o verso Sud. 



Oltre a questi assi di rotazione, ci serve un angolo di rotazione. Si può scegliere l’angolo che si vuole, ma occorre che sia irrazionale, in modo che sia impossibile che la sfera ritorni nella sua posizione iniziale dopo una o più rotazioni attorno a uno o all’altro dei due assi, Un angolo di 90° non è per esempio accettabile, perché la successione di 4 rotazioni riporterebbe la sfera nella sua posizione iniziale. Questo problema non si pone se invece se si prende un angolo irrazionale, come √2°. La serie di n rotazioni di quest’angolo non porterà mai la sfera nelle condizioni di partenza. Ciò succede anche con qualsiasi altro angolo irrazionale, come ad esempio ln(105)°. 

Abbiamo bisogno di tutto ciò per attribuire a ciascun punto della superficie della sfera un indirizzo. Abbiamo anche bisogno di un punto d’origine, pure questo a piacere: lo chiamiamo A. 

Da questo punto possiamo giungere a 4 altri punti, a seconda che si faccia una rotazione dell’angolo scelto verso il nord, il sud, l’est oppure l’ovest. Ciascun punto dà accesso a 3 altri punti, e così di seguito. Abbiamo in questa maniera accesso a un certo gruppo di punti, che si potranno rappresentare con il loro indirizzo, cioè la successione di rotazioni da seguire per finire sulla loro posizione partendo dall’origine. Per esempio, l’indirizzo NNOS corrisponde a un punto ottenuto mediante una rotazione della sfera verso nord, poi ancora a nord, poi verso ovest, infine verso sud. Anche se è composto dalle stesse lettere, l’indirizzo SONN corrisponde a un altro punto, che si ottiene ruotando la sfera verso sud, poi l’ovest, il nord e ancora il nord. Bisogna tuttavia fare attenzione, perché certi indirizzi non sono validi, quando si succedono due rotazioni opposte l’una all’altra. Per esempio, l’indirizzo SNON non è valido, perché può essere semplificato in ON, dato che le rotazioni successive verso sud e verso nord si annullano reciprocamente. 



Alla fine, l’insieme di punti accessibili per rotazioni a partire dall’origine A possiede un indirizzo. Classifichiamo ora tutti questi punti in 4 insiemi: il primo è composto dai punti il cui indirizzo termina per N, il secondo dove l’indirizzo termina per S, il. terzo contiene i punti con indirizzo che termina per O e l’ultimo in cui termina per E. Resta il punto di origine A, che mettiamo da solo in un quinto insieme. 

Guardiamo più da vicino l’insieme numero 1, quello dei punti il cui indirizzo termina per N. Poiché si tratta di indirizzi semplificati, non vi si potrà mai trovare una penultima lettera uguale a S. 

Che cosa succede se si ruota questo insieme verso sud? Ciò aggiunge una S a ciascuno dei punti che vi si trovano. Siccome tutti gli indirizzi terminavano per N, ora sono semplificati. Si ottengono allora degli indirizzi che terminano per O, per E, per N, ma mai per S. Da notare che vi si ritrova anche il punto d’origine, ottenuto per semplificazione del punto di indirizzo N. In breve: dopo una rotazione verso sud, l’insieme 1 è composto ora dai punti usciti dagli insiemi 1, 3, 4 e 5. Si può dunque ricostruire la sfera iniziale a partire da due soli pezzi: l’insieme 2 e l’insieme 1 ruotato verso sud. 

Si può fare la stessa cosa prendendo l’insieme 3 e girando l’insieme 4, ottenendo una seconda versione della sfera. 

Con queste operazioni abbiamo suddiviso la sfera in 5 parti. Gli insiemi 1 e 2 possono formare una prima copia della sfera iniziale, mentre gli insiemi 3 e 4 formano una seconda copia. Abbiamo trasformato una sfera in due sfere identiche in ogni punto alla prima, tutto con semplici operazioni di suddivisione. Questo è l’argomento chiave che fa funzionare il teorema di Banach-Tarski. 



Restano ancora molti dettagli. C’è un quinto pezzo, composto solamente dal punto d’origine A. Si può eliminarlo, ma bisogna suddividere gli insiemi 1 e 2. Ciò che facciamo è spostare dal primo al secondo insieme tutti i punti il cui indirizzo è il simbolo N ripetuto una o più volte. Si aggiunge così l’origine all’insieme 2. Così si può essere sicuri che dopo una rotazione verso sud, questo nuovo insieme diventa l’unione degli insiemi 1, 3 e 4, di cui il complementare è proprio il nuovo insieme 2.

Abbiamo ora suddiviso la sfera in 4 parti che, opportunamente risistemate, formano due copie identiche di questa sfera. La dimostrazione appena fatta ricorda la storia dell’hotel di Hilbert, quando si è riusciti a far stare un numero infinito di clienti in un hotel infinito già pieno. Ci sono in effetti tanti punti in un insieme infinito che in due copie dello stesso insieme. 

Malgrado tutto, la prova appena fatta non è del tutto soddisfacente, perché non è stata suddivisa tutta la sfera, ma un sottoinsieme di questa, quello dei punti accessibili a partire da A attraverso una serie di rotazioni. Questi punti non sono in quantità numerabile, anche se resta ancora una quantità infinita innumerabile di punti inaccessibili. 

Non è così grave. Scegliamo uno dei punti inaccessibili e scegliamolo come il nuovo punto d’origine, diciamo B. Questo dà accesso a un numero infinito di nuovi punti. Con lo stesso sistema di indirizzi, si può aggiungere nella parte 1 tutti i punti usciti da B con indirizzo che termina per N, nella parte 2 quelli che terminano per S, è così via, senza dimenticare la piccola modifica che permette di aggiungere il punto d’origine B nell’insieme 2. Come in precedenza, questi quattro pezzi permettono di riformare due sfere. 

Non è ancora sufficiente. I quattro insiemi contengono sempre un numero infinito numerabile di punti non accessibili sulla sfera. Si può allora proseguire la costruzione scegliendo sempre dei punti, fino a che ciascuno dei punti della sfera appartiene a uno dei 4 pezzi. Per procedere a una tale operazione, non si potrà fare a meno di utilizzare l’assioma della scelta. È quindi in questo momento che si passa dal suo lato oscuro. Fin qui i pezzi erano infiniti numerabili, dunque di misura zero. Ora che è stato utilizzato l’assioma della scelta ci si ritrova con 4 pezzi che permettono di ricostruire due sfere, ma che non possiedono alcuna misura. È perciò possibile che associandoli a due a due essi formino dei nuovi pezzi di misura più grande. 

Il paradosso di Banach-Tarski non parla di una sfera vuota, ma di solidi pieni. Per ottenere una suddivisone soddisfacente, basta prendere non più dei punti sulla superficie della sfera, ma dei raggi della palla. Si ottiene allora una suddivisione del solido in quattro pezzi che permettono di ricostruirne due esemplari identici. 

Per quanto riguarda il quinto pezzo, rappresentato dal centro della sfera, è possibile procedere passo dopo passo come si è fatto in precedenza sulla superficie. Per farlo consideriamo un cerchio all’interno della sfera che passi per il centro e ancora un angolo irrazionale, in modo che sia impossibile tornare al punto di partenza. Procediamo come si sono assegnate le stanze nell’Hotel di Hilbert. Consideriamo proprio l’insieme dei punti del cerchio ottenuto dal punto mancante applicando una serie di rotazioni. Questo insieme è infinito, e non esiste un ultimo punto. Facendo ruotare questo insieme per l’angolo irrazionale scelto, il buco presente al centro della palla sarà riempito, senza che si sia formato alcun altro buco. 

È quindi quest’ultimo insieme di punti che forma il quinto pezzo della paradossale suddivisione di Banach e Tarski. 



Tralasciando qualche dettaglio, questa dimostrazione rappresenta un mezzo matematico e perfettamente definito di duplicare delle sfere piene. Essa può essere utilizzata per altri oggetti solidi, anche non è possibile dire in quante parti essi andranno suddivisi. Ragionando analogamente, si può dimostrare che è possibile suddividere una sfera piccola (ad es. una pallina da golf) in modo tale che i pezzi ottenuti, una volta assemblati, possano ricomporsi in una sfera più grande, magari delle dimensioni di Giove! 

Alla fine di tutto ciò, si può essere tentati di rifiutare completamente l’assioma della scelta, che mette talmente in crisi l’intuizione che ci si può fare degli oggetti matematici. Numerose discussioni hanno avuto luogo su questo argomento tra i matematici all’inizio del XX secolo e hanno dato vita a diverse correnti di filosofia matematica. Possiamo citare ad esempio l’intuizionismo, che rifiuta tutti gli oggetti matematici che non sono costruiti precedentemente in modo esplicito. 

Un atteggiamento che si deve evitare di fronte a tale paradosso è domandarsi se esso sia contraddittorio. Certo, sorprende l’intuizione, ma esso non mette in discussione alcun altro teorema. Infatti, ciò è stato dimostrato nel 1938 da Kurt Gödel, che ha provato che se gli assiomi della teoria ZF non sono contraddittori vicendevolmente, allora l’aggiunta dell’assioma della scelta non vi introduce alcuna contraddizione. Non ci sono perciò argomenti puramente matematici che autorizzano a rifiutare questo assioma. Diciamo che anche la negazione dell’assioma della scelta non comporta l’apparizione di contraddizioni nella teoria ZF. Si può perciò benissimo vivere in un mondo matematico dove le scelte sono impossibili… 

Ciò non impedisce che, ancora oggi, l’utilizzo dell’assioma della scelta da parte dei matematici resta sempre soggetto a cautela. Conviene preferire le dimostrazioni che non lo utilizzano e, se esso sembra inevitabile, indicare esplicitamente al lettori dove stanno per essere condotti. Più di cent’anni dopo la sua prima formulazione da parte di Zermelo, bisogna constatare che l’assioma della scelta e le sue conseguenze restano un terreno insidioso. 

In realtà quella di Banach-Tarski era una provocazione che voleva dimostrare le conseguenze paradossali e controintuive dell’assioma della scelta. Finì che gli fecero pubblicità, un po’ come sarebbe successo al gatto di Schrödinger, pensato per contestare la casualità nella meccanica quantistica e diventato uno dei suoi meme più noti. In ogni caso, i due matematici polacchi un risultato importante lo raggiunsero, e cioè sottolineare la necessità di definire scrupolosamente ciò che è misurabile da ciò che non lo è. Come tutti i paradossi, quello della duplicazione della sfera possiede anche delle ricadute filosofiche sul senso reale che si attribuisce agli oggetti matematici, ma questa è un’altra storia. 

*È impossibile duplicare un disco (dimensione 2) o un segmento (dimensione 1). 

Fonte: 
Choux romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes : Deux (deux ?) minutes pour le théorème de Banach-Tarski, consultato il 16 ottobre 2016.

sabato 8 aprile 2017

John Robinson e la nascita del complotto degli Illuminati

All’inizio del 1797, John Robinson era un uomo che godeva di una solida e duratura reputazione nelle istituzioni scientifiche britanniche. Figlio di un mercante di Glasgow, era nato nel 1739 e aveva ricevuto un’educazione vasta e di buon livello. Si laureò all’università di Glasgow nel 1756. In seguito divenne il tutore del figlio dell’ammiraglio inglese Sir Charles Knowles, e ricevette dal governo l’incarico di partecipare al collaudo sul mare del nuovo cronometro del grande orologiaio John Harrison. Si recò poi in Russia come segretario privato di Knowles. Mentre era in Russia fu chiamato a ricoprire la cattedra di matematica nella scuola imperiale dei nobili cadetti. Tornò in Scozia e nel 1773 diventò professore di filosofia naturale all’Università di Edimburgo, dove insegnò idrodinamica, astronomia, ottica, elettricità e magnetismo. La sua abilità è dimostrata dal fatto che fu chiamato a scrivere gli articoli dell’Encyclopaedia Britannica riguardanti la navigazione, il telescopio, l’ottica, le opere idrauliche, la resistenza ai fluidi, l’elettricità, il magnetismo, la musica, ecc. Aveva anche inventato la sirena d’allarme e anticipato la legge di Coulomb studiando in termini quantitativi la forza tra cariche elettriche in rapporto alle loro distanze reciproche. Quando fu organizzata la Royal Society a Edimburgo con decreto reale del 1783, Robinson fu eletto Segretario Generale, carica che continuò a mantenere fino a pochi anni prima della morte. La sua reputazione non era confinata alla sola Gran Bretagna. Nel 1790 fu insignito della più alta onorificenza dal College of New Jersey dell’Università americana di Princeton. Personaggio assai versatile, era anche un abile musicista polistrumentista e un discreto poeta. 

Ebbene, prima della fine dell’anno la sua reputazione professionale fu messa in ombra da un libro sensazionale che vendette molto di più di tutto ciò che aveva scritto in precedenza e la cui eco continua a farsi sentire molto tempo dopo che la sua opera scientifica è stata dimenticata. Il titolo del libro era Proofs of a Conspiracy against all the Religions and Governments of Europe, che lanciò presso il pubblico di lingua inglese la teoria che un vasto complotto, ordito da una cellula massonica coperta, nota come gli Illuminati, stava cercando di sovvertire tutte le istituzioni del mondo civilizzato trasformandole in strumenti di un empio piano segreto: la tirannia delle masse sotto l’invisibile controllo di superiori sconosciuti e l’instaurazione di una nuova era di “oscurità sopra ogni cosa”. 

La prima edizione del Proofs of a Conspiracy andò esaurita in pochi giorni, e in un anno fu ripubblicata molte volte, non solo a Edimburgo, ma anche a Londra, Dublino e New York. Robinson aveva toccato un nervo scoperto, offrendo una risposta alle grandi domande di quel periodo: che cosa aveva causato la Rivoluzione Francese e che cosa aveva guidato il suo sanguinoso e tumultuoso avanzamento? Dal suo punto di osservazione di Edimburgo, egli aveva, con milioni di altri, seguito i resoconti di una Francia che aveva distrutto la sua monarchia, spogliato la sua chiesa e trasformato la sua popolazione oppressa e brutalizzata nella più temibile forza militare che l’Europa avesse mai visto. Ora, poi, sotto l’astro nascente del giovane generale Napoleone Bonaparte, tentava di esportare la carneficina e la distruzione nelle monarchie confinanti, non ultima la stessa Gran Bretagna. Robinson credeva tuttavia di essere il solo ad aver identificato la mano celata responsabile di questa eruzione apparentemente insensata di guerra e terrore che sembrava in grado di seppellire il mondo. 

Molti avevano individuato le radici della Rivoluzione nelle idee dell’Illuminismo, come quelle di Voltaire, Diderot e Condorcet, che avevano esaltato la ragione e il progresso a scapito dell’autorità e della tradizione; nessuno tuttavia di questi filosofi in gran parte aristocratici aveva caldeggiato una rivoluzione delle masse, e infatti molti di essi avevano concluso la loro vita sotto la lama della ghigliottina. Nei primi anni dell’ultimo decennio del secolo era stato possibile credere che gli avvocati e i giornalisti affamati di potere del Club dei Giacobini avessero montato il popolino di Parigi nella loro distruttiva frenesia per i loro interessi, ma, a partire dal 1794, Danton, Robespierre e il resto dei capi giacobini avevano seguito le loro vittime sotto la lama del boia. Come potevano essere stati i burattinai se i loro fili erano stati tagliati così brutalmente? Ciò che Robinson proponeva nelle pagine meticolosamente redatte del suo libro era che tutti questi agenti della rivoluzione erano stati pedine di un gioco più grande di loro, le cui ambizioni stavano solo cominciando a rendersi visibili. 


La Rivoluzione Francese, come tutti i convulsi eventi che l’avevano preceduta e seguita, era stata piena di complotti, nutriti dal proliferare di club e associazioni della più varia natura, dalla velocità degli eventi, dalla scarsitã di informazioni disponibili. In Gran Bretagna, nemici della rivoluzione come Edmund Burke avevano sostenuto sin dall’inizio che “già alleanze e corrispondenze della natura più straordinaria sì stanno formando in diversi paesi” e dal 1797 in molti ritenevano – e con buona ragione – che società segrete irlandesi stavano complottando con Napoleone per rovesciare il governo britannico e invadere il continente. Il potere della rivelazione di Robinson consisteva nel fatto che essa identificava nella rumorosa confusione di complotti un solo protagonista, una sola ideologia e un unico complotto generale che cristallizzava il caos in una epica lotta tra il bene e il male, il cui esito avrebbe definito il futuro della politica mondiale. 

Il vasto complotto di Robinson richiedeva un’importante figura di riferimento, un ruolo per il quale Adam Weishaupt, fondatore dell’ordine bavarese degli Illuminati, sembra oggi essere un candidato poco promettente. 

Adam Weishaupt era nato nel 1748 a Ingolstadt e aveva studiato dai Gesuiti. La sua nomina a Professore di Legge Naturale e Canonica all’Università di Ingolstadt nel 1775, al posto di uno dei gesuiti recentemente banditi (1773) dal papa Clemente XIV, provocò una grande rabbia da parte del clero. Weishaupt, le cui idee erano cosmopolite, e che conosceva e condannava le superstizioni e il bigottismo dei preti, fondò un partito loro contrario all’Università. Non era ancora un massone; fu iniziato in una loggia di Monaco nel 1777. 

I motivi che portarono Weishaupt a considerare l’idea di una organizzazione segreta erano svariati. In parte erano dovuti al suo genuino interesse per le cause del liberalismo e del progresso, nate in gran parte per le vicende personali che aveva vissuto di fronte all’intolleranza e al bigottismo. Ma c’era anche una certa sete di potere, che si manifestava in un carattere dispotico e non facile. Inoltre la nascita dell’Ordine si mescolava con interessi personali, soprattutto per il controllo dei ruoli chiave all’Università. Non estranea a queste motivazioni è la solo apparente contraddizione tra gli ideali perseguiti e l’ammissione di aver mutuato, almeno inizialmente, l’organizzazione degli odiati gesuiti, compreso il vincolo per ogni adepto di spiare i propri sottoposti e di riferirne ai superiori. 

Ossessivo e poco incline al compromesso, litigioso, Weishaupt aveva all’inizio trovato difficoltà nell’attrarre membri nella sua società segreta, dove essi avrebbero dovuto adottare pseudonimi mistici scelti da lui, salire la scala assai lunga dei suoi gradi iniziatici e svolgere ruoli subalterni nella sua grandiosa ma nebulosa missione per la riforma del mondo. Per sua fortuna potè contare sul carisma e le capacità organizzative del Barone Adolf von Knigge, suo collaboratore e entusiasta adepto dal 1780. 

I rituali degli Illuminati erano di natura razionalistica e non occulta. Lo stato di massone non era richiesto per l’iniziazione all’Ordine perché solo i gradi dal quattordicesimo al sedicesimo del sistema di Weishaupt e Knigge corrispondevano praticamente ai tre gradi della massoneria simbolica.

L’Ordine diventò popolare e comprendeva non meno di duecento adepti registrati, tra i quali quasi sicuramente Johann Wolfgang Goethe. Le sue logge si trovavano in Francia, Belgio, Olanda, Danimarca, Svezia, Polonia, Ungheria e Italia. Knigge, che era uno dei suoi membri più attivi e l’inventore di alcuni dei suoi Gradi, era un uomo religioso, e non avrebbe mai aderito se il suo programma fosse stato, come si disse, di abolire il Cristianesimo. Non si può tuttavia negare che, in qualche suo aspetto e membro, furono commessi abusi e irregolarità, che naturalmente andarono ad alimentare la propaganda contraria, che vi aggiunse accuse palesemente esagerate o addirittura false.


Gli editti di soppressione dell’Elettore di Baviera, Duca Carlo Teodoro, del 1784 e 1785 furono reiterati nell’agosto 1787 e l’ordine cominciò a declinare, al punto che all’alba del nuiovo secolo aveva cessato di esistere.



Nel 1785 Weishaupt fu privato della cattedra e esiliato dal paese con una pensione. Rifiutò la pensione e si trasferì a Regensburg e poi trovò definitivamente asilo presso Ernesto II, duca di Sassonia-Gotha-Altenburg. Weishaupt fu in seguito nominato professore all’Università di Gottinga, dove rimase fino alla morte avvenuta nel novembre 1830. Negli ultimi anni non fece altro che produrre una serie di cupe memorie auto-giustificative delle sue vicende. 

C’era conque molto nella vicenda degli Illuminati che offriva, almeno a Robinson, l’idea di uno schema molto più vasto e sinistro. Il senso messianico di Weishaupt della propria missione e le strutture stravaganti dell’Ordine suggerivano un’organizzazione molto più vasta di quella che era venuta alla luce, e la sua scoperta aveva generato un’ossessione davvero sproporzionata rispetto al pericolo che rappresentava. Era diventata una calamita per le profonde ansietà della chiesa e della monarchia riguardo al programma di ragione e progresso che era stato seminato in tutta Europa dall’avanguardia illuminista di filosofi e scienziati. L’ossessione per gli Illuminati aveva generato centinaia di sermoni, polemiche, opuscoli e fogli scandalistici, tutti in competizione per elencare le più terribili accuse di empietà. Erano queste le principali fonti di anni di ricerca da parte di Robinson per costruire le prove del complotto che ora presentava. Robinson ammise tranquillamente di avere solo una scarsa conoscenza del tedesco e di aver ricavato tutte le sue informazioni da altri scrittori. Sfortunatamente non si preoccupò neppure di fornire riferimenti alle sue fonti. 
Robinson non negava che lo scopo dichiarato dall’Ordine era quello di insegnare alle persone ad essere felici facendo loro del bene e di fare ciò attraverso l’illuminazione della mente, liberandola dal dominio della superstizione e del pregiudizio. Lo scozzese si rifiutava però di accettarlo come il vero obiettivo. Dove Weishaupt e il Barone Knigge promuovevano la libertà dal dominio della chiesa sulla filosofia, Robinson vedeva un appello per la distruzione della chiesa. Dove Weishaupt e Knigge volevano la libertà dagli eccessi dell’oppressione statale, Robinson vedeva la distruzione dello stato. Dove Weishaupt e Knigge volevano istruire le donne e trattarle come uguali, Robinson vedeva la distruzione dell’ordine giusto e naturale della società.

All’osservatore neutrale, Weishaupt e gli Illuminati potevano aver offerto una metafora eloquente delle forze che stavano ridisegnando l’Europa, ma per Robinson essi ne erano diventati la causa vera e propria: il centro, perciò inaccessibile, della rete di eventi che aveva distrutto il vecchio mondo.

Robinson potrebbe essere stato uno spettatore lontano della paura irrazionale per gli Illuminati, ma non era certo un osservatore spassionato. Mentre Proofs of a Conspiracy giunse a sorpresa (e non senza certi imbarazzi) tra i suoi amici e i colleghi scientifici, c’erano molti motivi per i quali gli Illuminati gli sì erano presentati in quel modo. La sua scoperta risolveva sospetti di lunga durata e conflitti sia nella sua vita privata sia in quella professionale, e in particolare sì adattava perfettamente alle sue curiose avventure nella massoneria. 

Nel 1797, il carattere di Robinson era andato incontro a una certa depressione, assai distante dal gioviale e conviviale temperamento della sua giovinezza. Nel 1785 aveva iniziato a soffrire di una sindrome misteriosa, un grave e doloroso spasmo dell’inguine; sembrava emanasse da sotto i testicoli, ma la sua precisa origine aveva confuso i più abili dottori di Edimburgo e Londra. Scosso dal dolore e frequentemente costretto a letto, alla fine del decennio era una figura ritirata e isolata; faceva uso frequente di oppio, una condizione che secondo alcuni dei suoi conoscenti lo rendeva vulnerabile alla malinconia, alla confusione e alla paranoia. Man mano che le vicende sanguinose della rivoluzione in Francia turbavano la Gran Bretagna, il panico era particolarmente intenso in Scozia, dove ministri e giudici montavano voci costanti di quinte colonne e cellule giacobine segrete. Tormentato, confuso dai farmaci, assalito da notizie terrificanti dal mondo esterno, Robinson era in possesso di tutti i fili oscuri per tessere la trama del complotto che lo stava consumando. 

La politica aveva gettato una lunga ombra anche sulla sua vita professionale. Le scienze della natura erano alle prese con un’altra rivoluzione francese, condotta da Antoine Lavoisier. Negli anni ’80, Lavoisier aveva ribaltato la chimica del secolo precedente con la scoperta dell’ossigeno, da cui era stato in grado di stabilire nuove teorie della combustione e a iniziare il processo di ridurre tutte le sostanze materiali a un insieme di elementi fondamentali. La rivoluzione di Lavoisier aveva spaccato la chimica inglese: alcuni avevano riconosciuto che i suoi esperimenti tecnicamente brillanti avevano trasformato la scienza della materia, ma per altri la sua terminologia nuova e straniera era, come il sistema metrico francese, un arrogante tentativo di spazzare via il sapere accumulato con il tempo e di eliminare il ruolo di Dio. La vecchia chimica, con le sue misteriose forme d’energia e i suoi linguaggi di essenze e principi, aveva difeso l’idea di una forza vitale e del misterioso soffio del divino; nel freddo nuovo mondo di Lavoisier, al contrario, la materia era ridotta a mattoni inerti manipolati dalle forze misurabili della pressione e della temperatura. Dio era stato gettato fuori dall’edificio della scienza e, proprio in quegli anni, un altro francese, Laplace, lo escludeva dalle possibili ipotesi per la sua meccanica celeste.


Robinson non accettò mai le teorie francesi, e prima del 1797 aveva inserito la nuova chimica all’interno del suo complotto degli Illuminati. Per lui, Lavoisier, assieme al più eminente chimico sperimentale inglese, Joseph Priestley, era un membro dell’Ordine, che agiva in concerto con logge massoniche infiltrate per diffondere la dottrina del materialismo che avrebbe permeato il nuovo ordine mondiale ateista. I famosi salotti di Madame Lavoisier, dove si incontravano i principali filosofi continentali, erano ora smascherati da Robinson come luoghi di riti sacrileghi dove l’ospite, vestita negli abiti cerimoniali di una occulta sacerdotessa, bruciava ritualmente i testi della vecchia chimica. Per quanto questa immagine possa sembrare poco plausibile, era uno degli elementi che Robinson aveva assemblato come prove nel suo libro, assieme, ad esempio, al pamphlet anonimo tedesco che sosteneva che, nel salotto del grande filosofo Barone d’Holbach, si sezionavano i cervelli di bambini vivi comprati da genitori poveri nel tentativo di isolare la loro forza vitale. 

Gli Illuminati si erano infiltrati nella vita professionale di Robinson, ma il suo legame più personale con il loro complotto derivava dalla stessa massoneria. Iniziato a Liegi nel 1770, era stato un membro del Rito Scozzese per decenni senza mai considerare le logge come più di “un pretesto per passare un’ora o due in un forte di decente convivialità, non del tutto privo di qualche occupazione razionale”. La sua carriera l’aveva tuttavia portato all’estero, dove era stato colpito dalla scoperta che non tutti gli ordini massonici erano così innocenti. Durante i suoi viaggi si era incontrato con altri massoni e aveva visiti delle logge in Francia, Belgio, Germania e Russia. Ciò che vide lo turbò: paragonate a quelle scozzesi, le logge continentali erano “scuole di empietà e licenziosità”. I loro membri sembravano bruciati da “zelo e fanatismo”, le loro idee religiose “molto disturbate dagli umori mistici di Jacob Boehme e Swedenborg, dalle dottrine fanatiche e fraudolente dei moderni Rosacroce, da Maghi, mesmeristi, Esorcisti, ecc.” Ora, trent’anni più tardi, ricordando l’occultismo e il libero pensiero ai quali era stato brevemente ma indelebilmente esposto, non aveva dubbi sulla fonte della distruzione che aveva colpito il Continente. 

Sebbene Proofs of a Conspiracy fosse diventato un successo, il complotto degli Illuminati non colpì mai l’immaginario della classe politica britannica come fece nell’Europa continentale. Una volta passata la crisi della Rivoluzione Francese, alcuni conservatori l’avrebbero attribuito al superiore senso comune britannico, ma in verità la Gran Bretagna aveva allora minacce e cospirazioni più serie da affrontare. Rights of Man di Tom Paine, un’opera di gran lunga più incendiaria e radicale di qualsiasi “testo segreto” degli Illuminati bavaresi, aveva venduto più di duecentomila copie nella sua edizione economica da sei penny, un numero che superava di molto ciò che fino a quel momento era stato considerato il numero totale dei possibili acquirenti di libri. Con la flotta inglese scossa da ammutinamenti e il governo impegnato a contrastare proteste e moti di rivolta, non era sorprendente che le gesta di una loggia bavarese da tempo smantellata sembrassero meno di una minaccia urgente. 


L’opera di Robinson, tuttavia, ebbe un profondo e duraturo impatto negli Stati Uniti, dove le forze antagoniste della rivoluzione e della reazione che avevano devastato l’Europa stavano minacciando di dividere i Padri Fondatori e  distruggere la loro neonata costituzione. Mentre le persone come Thomas Jefferson si consideravano cugini di una Repubblica Francese che aveva abbattuto il giogo della monarchia e con la quale avevano commerciato tra i blocchi navali inglesi, altri fondatori, come Alexander Hamilton, il cui partito federalista favoriva uno stato potente rivolto a proteggere gli interessi dei cittadini abbienti, temevano l’infiltrazione degli ideali radicali della Rivoluzione Francese. In una situazione politica incandescente dove le accuse di tradimento erano lanciate da entrambi i fronti, il libro di Robinson era colto con entusiasmo dai Federalisti come prova del programma nascosto che si nascondeva dietro seducenti slogan come democrazia, abolizione della schiavitù e diritti dell’uomo. Le parole di Robinson erano ripetute senza fine dai pulpiti e dagli opuscoli della Nuova Inghilterra tra il 1798 e il 1799, e Jefferson era pubblicamente accusato di essere un membro dell’Ordine di Weishaupt.


Queste accuse non furono però mai supportate da prove: “l’allarme Illuminati” si esaurì e i Federalisti persero per sempre potere. L’episodio aveva tuttavia toccato un nervo scoperto in profondità nella mentalità politica americana ed è stato invocato in molte paranoie successive. Le idee di Robinson avrebbero continuato a essere riscoperte e reinventate, fino a influenzare la politica moderna in modi curiosi. La decana della moderna teoria del complotto, Nesta Webster, accettò per intero la teoria, ma poi giunse a credere che gli Illuminati erano fumo negli occhi: i veri cospiratori erano il “pericolo giudaico”, il cui programma, pensava, era stato accuratamente esposto nei Protocolli degli Anziani Savi di Sion. Sebbene Webster in seguito tornò nell’anonimato e aderì al partito fascista britannico, ebbe un certo credito e guadagnò citazioni entusiaste negli articoli dell’allora giornalista Winston Churchill, che nel 1920 scrisse sul Sunday Herald:”Il complotto contro la civiltà inizia nell’epoca di Weishaupt. Come la storica moderna signora Webster ha così abilmente mostrato, esso giocò un ruolo importante nella Rivoluzione Francese”. Molti membri della destra isolazionista continuano a ritenere vera la teoria di Robinson ancor oggi: l’associazione ultraconservatrice americana John Birch Society, ad esempio, resta convinta che la Loggia di Weishaupt “era l’antenata del movimento Comunista e il modello dei moderni movimenti sovversivi”. Inutile dire che queste idee fanno parte del milieu culturale che ha espresso il presidente americano Donald Trump.


Dopo la sua morte nel 1805, il suo collega di Edimburgo, il geologo John Playfair, scrisse un necrologio rispettoso concentrandosi sulle sue conquiste scientifiche, ma fu incapace di evitare di menzionare l’opera per la quale è soprattutto ricordato. “L’allarme suscitato dalla Rivoluzione Francese”, suggeriva Playfair con tatto, “produsse nel signor Robinson una grado di credulità che non gli era naturale. Era una credulità," sottolineava, "che era stata condivisa da molti, incapaci di credere che la rivoluzione era stato un genuino movimento di massa in reazione all’oppressione di un regime tirannico; essi erano stati incatenati alla loro idea che essa doveva essere stata orchestrata da una piccola congrega di fanatici e che la mancanza di prove di qualsiasi complotto era essa stessa una prova che i cospiratori erano riusciti a nascondere le loro manovre dalla pubblica vista.” 

C’era molto buon senso nell’analisi di Playfair, che potrebbe essere applicata ai molti che in seguito credettero alle teorie di Robinson, o che continuano a crederci ancor oggi. Infatti, forgiato nello stesso crogiolo di tante moderne ideologie politiche, dal conservatorismo al nazismo, alle varie forme di nazionalismo e populismo, il complotto degli illuminati è diventato un mito moderno: non propriamente e non solo nel senso che la sua base fattuale evapora dopo un’analisi anche superficiale, ma come modello narrativo in grado di variare il suo significato per adattarsi a nuovi e inediti scenari. La storia di un complotto mondiale ordito da un piccolo gruppo di fanatici ha costruito il successo di molte opere di fiction (da Eco a Dan Brown) ma continua nelle varie teorie bizzarre create e amplificate sui social network, che vengono sostenute da migliaia se non da milioni di persone in cerca di spiegazioni semplici per un mondo sempre più complicato. I teorizzatori di complotti, che non sono famosi per la loro applicazione del rasoio di Occam, hanno deciso che ci sono legami tra gli Illuminati, la massoneria, la Commissione Trilaterale, il sionismo internazionale e il comunismo, e che tutti portano al Vaticano, alla CIA o agli alieni, meglio se rettiliani. In questo senso Robinson è stato un anticipatore, e gli Illuminati sono ancora tra noi.



Fonte principale: Mike Jay, Darkness Over All: John Robison and the Birth of the Illuminati Conspiracy, The Public Domain Review, 2014/04/02